目錄

1. 什么是序貫概率比檢驗(yàn)
2. 序貫概率比檢驗(yàn)的要點(diǎn)

序貫概率比檢驗(yàn)（Sequential probability ratio test，SPRT）

什么是序貫概率比檢驗(yàn)

　　數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支，其名稱(chēng)源出于亞伯拉罕·瓦爾德在1947年發(fā)表的一本同名著作，它研究的對(duì)象是所謂“序貫抽樣方案”，及如何用這種抽樣方案得到的樣本去作統(tǒng)計(jì)推斷。序貫抽樣方案是指在抽樣時(shí)，不事先規(guī)定總的抽樣個(gè)數(shù)（觀測(cè)或?qū)嶒?yàn)次數(shù)）,而是先抽少量樣本,根據(jù)其結(jié)果，再?zèng)Q定停止抽樣或繼續(xù)抽樣、抽多少，這樣下去，直至決定停止抽樣為止。反之，事先確定抽樣個(gè)數(shù)的那種抽樣方案，稱(chēng)為固定抽樣方案。

　　例如，一個(gè)產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)方案規(guī)定按批抽樣品20件，若其中不合格品件數(shù)不超過(guò) 3，則接收該批，否則拒收。在此，抽樣個(gè)數(shù)20是預(yù)定的，是固定抽樣。若方案規(guī)定為：第一批抽出3個(gè)，若全為不合格品，拒收該批,若其中不合格品件數(shù)為x1%26lt;3，則第二批再抽3-x1個(gè),若全為不合格品，則拒收該批，若其中不合格品數(shù)為 x2%26lt;3-x1,則第三批再抽3-x1-x2個(gè),這樣下去,直到抽滿(mǎn)20件或抽得 3個(gè)不合格品為止。這是一個(gè)序貫抽樣方案，其效果與前述固定抽樣方案相同，但抽樣個(gè)數(shù)平均講要節(jié)省些。此例中，抽樣個(gè)數(shù)是隨機(jī)的，但有一個(gè)不能超過(guò)的上限20。有的序貫抽樣方案，其可能抽樣個(gè)數(shù)無(wú)上限，例如，序貫概率比檢驗(yàn)的抽樣個(gè)數(shù)就沒(méi)有上限。

　　H.F.道奇和 H.G.羅米格的二次抽樣方案(見(jiàn)抽樣檢驗(yàn))是較早的一個(gè)序貫抽樣方案。1945年,C.施坦針對(duì)方差未知時(shí)估計(jì)和檢驗(yàn)正態(tài)分布的均值 μ(見(jiàn)數(shù)學(xué)期望)的問(wèn)題,提出了一個(gè)二次抽樣方案。依此方案,在事先給定了l%26gt;0和0%26lt;α%26lt;1后，可作出均值μ的一個(gè)置信區(qū)間,其置信系數(shù)（見(jiàn)區(qū)間估計(jì)）為1-α ，而長(zhǎng)度不超過(guò)l。可以證實(shí)：當(dāng)方差未知時(shí)，具有這種性質(zhì)的置信區(qū)間在固定樣本的情況下不可能找到。由此可以看出序貫抽樣方案除了可節(jié)省抽樣量之外,還有一種作用,即為了達(dá)到預(yù)定的推斷可靠程度(這里為置信系數(shù))及精確程度（這里是以區(qū)間長(zhǎng)度來(lái)刻畫(huà)），有時(shí)必須使用序貫抽樣。例如，估計(jì)一事件A的概率p(0%26lt;p%26lt;1)，給定ε%26gt;0及0%26lt;α%26lt;1，要找到這樣的估計(jì)孨,使能以不小于1-α 的概率保證估計(jì)的相對(duì)誤差|(孨-p)/p|≤ε?？梢宰C實(shí),若用固定抽樣方案,事先指定自然數(shù)n,做n次試驗(yàn),每次觀察A是否發(fā)生,則不論n多么大,具有上述性質(zhì)的孨不存在。但用下述序貫抽樣方案可得到這樣的孨:作試驗(yàn),觀察A是否發(fā)生,設(shè)到A第一次發(fā)生時(shí)已作了n1次試驗(yàn),計(jì)算出,取其整數(shù)部分n2,再作n2次試驗(yàn),記n2次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)為m,令孨=m/n2，則有p(｜-p｜/p≤ε)≥1-α ，而估計(jì)孨具有所指定的性質(zhì)。

序貫概率比檢驗(yàn)的要點(diǎn)

　　此法在亞伯拉罕·瓦爾德的1947年的著作中有系統(tǒng)介紹，

　　其要點(diǎn)如下：設(shè)在原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1之下，隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)或概率函數(shù)隨機(jī)變量都已知,且分別為p0(x)及p1(x),對(duì)x逐次觀測(cè)，第i次觀測(cè)的結(jié)果記為xi，稱(chēng)比值為樣本x1, x2,…, xn的概率比。在固定抽樣方案之下，是先給定自然數(shù)n,對(duì)x進(jìn)行n次觀測(cè)得x1,x2,…,xn，計(jì)算。

　　定出一常數(shù)C（其值取決于檢驗(yàn)水平α）,當(dāng)λn≤C 時(shí),接受原假設(shè)H0,否則拒絕H0。這樣,在λn的值與C很接近時(shí),H0是否被接受的界限過(guò)于斷然,不大合理。瓦爾德將此修改為:指定兩個(gè)數(shù)A,B,A%26lt;B，根據(jù)各次觀測(cè)得的樣本x1,x2,…的值,依次計(jì)算概率比λ1,λ2,…。每次抽樣完畢,即算出λn，再與A,B比較,若λn≤A,則接受H0；若λn≥B,則接收H1（拒絕H0）；

　　若A%26lt;λn%26lt;B,則繼續(xù)抽樣一次得xn+1,計(jì)算出xn+1再作上述比較，直到作出決定為止。這就是序貫概率比檢驗(yàn)。至于A,B的定法,則取決于指定的兩種錯(cuò)誤概率α和β（α,β都大于0，但很?。?

　　瓦爾德提供的近似公式是A=β/(1-α)，B=(1-β)/ α。他也給出了這種檢驗(yàn)法的平均抽樣次數(shù)和功效函數(shù)（見(jiàn)假設(shè)檢驗(yàn)），并在1948年與美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家J.沃爾弗維茨一起，證實(shí)了在一切兩種錯(cuò)誤概率分別不超過(guò)α和β的檢驗(yàn)類(lèi)中，上述序貫概率比檢驗(yàn)所需平均抽樣次數(shù)最少。瓦爾德在其著作中也考慮了復(fù)合檢驗(yàn)的問(wèn)題，有許多統(tǒng)計(jì)學(xué)者研究了這種檢驗(yàn)。瓦爾德的上述開(kāi)創(chuàng)性工作，引起了許多統(tǒng)計(jì)學(xué)者對(duì)序貫方法的注重，并繼續(xù)進(jìn)行工作，從而使序貫分析形成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支。

　　除了檢驗(yàn)問(wèn)題以外，序貫方法在其他方面也有不少進(jìn)展，對(duì)一般的統(tǒng)計(jì)決策問(wèn)題，在各次觀測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立的情況下的序貫貝葉斯解的問(wèn)題，在理論上已有較完整的結(jié)果。在點(diǎn)估計(jì)方面，對(duì)序貫的最小化最大估計(jì)的研究有了一些結(jié)果。在區(qū)間估計(jì)方面，關(guān)于斯坦的二次抽樣，正態(tài)均值及一般總體均值和線性模型參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，有不少的工作。另外，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一類(lèi)在應(yīng)用上重要的問(wèn)題，叫選擇問(wèn)題，它要求從若干個(gè)分布中挑選出一個(gè)在某種意義上的最優(yōu)者。例如，從若干個(gè)具有不同均值的正態(tài)分布中，挑選出其均值最大者。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題也發(fā)展了一系列的序貫方法。

其他產(chǎn)品包裝設(shè)計(jì)參考

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